Алгоритм вычисления собственных значений — Википедия. В вычислительной математике одной из наиболее важных задач является создание эффективных и устойчивыхалгоритмов нахождения собственных значенийматрицы. Эти алгоритмы вычисления собственных значений могут также находить собственные векторы. Если задана n . Если k = 1, вектор просто называется собственным вектором. В этом случае Av = . Любое собственное значение . Значение k всегда можно взять меньше либо равным n.

В частности, (A - . Геометрическая кратность значения . Алгебраическая кратность значения . Дальнейшие термины связаны с равенствомp. A(z)=det(z. E. Функция p. A(z) — это характеристический многочлен матрицы A. Таким образом, алгебраическая кратность является кратностью собственных значений как корней характеристического многочлена.

Поскольку любой собственный вектор является корневым вектором, геометрическая кратность меньше либо равна алгебраической кратности. Сумма алгебраических кратностей равна n степени характеристического многочлена. Уравнение p. A(z) = 0 называется характеристическим уравнением, поскольку его корни являются в точности собственными значениями матрицы A. По теореме Гамильтона — Кэли сама матрица A удовлетворяет тому же самому уравнению: p.

Многие пакеты программ для собственных векторов и значений имеют. Сколько у матрицы собственных чисел и собственных векторов? По обычному алгоритму нахождения обратной матрицы либо методом . Если скорость нахождения собственных пар больших симметричных матриц. Этот алгоритм использует программы из библиотеки LAPACK 3.0 . Соответствуют рабочей программе учебной дисциплины "Вычислительная. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц –.

• Калькулятор для нахождения собственных чисел и собственных векторов.
• Собственные числа матрицы линейного оператора онлайн.
• Блок-схема программы вычисления собственных значений матрицы прямым. Простейшим итерационным методом нахождения собственных .

A(A) = 0. Как следствие, столбцы матрицы . Точнее этот базис . Таким образом, . Таким образом, подобные матрицы имеют те же самые собственные значения.

Нормальные, эрмитовы и вещественные симметричные матрицы. Квадратная матрица A называется нормальной, если она коммутирует с эрмитово- сопряжённой: A*A = AA*. Матрица называется эрмитовой, если она равна своей сопряжённой: A* = A.

В вычислительной математике одной из наиболее важных задач является создание эффективных и устойчивых алгоритмов нахождения собственных . Метод итерации нахождение собственных векторов и. Понятие о собственных значениях и собственных векторах. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного преобразования.

Все эрмитовы матрицы нормальны. Если A имеет только вещественные элементы, то сопряжённая к ней — это просто транспонированная матрица и она будет эрмитовой в том и только в том случае, когда она симметрична.

Если применить это к столбцам, сопряжённость можно использовать для определения канонического скалярного произведения в Cn: w . Нормальные, эрмитовы и вещественные симметричные матрицы имеют ряд полезных свойств: Каждый корневой собственный вектор нормальной матрицы является простым собственным вектором. Любая нормальная матрица подобна диагональной, поскольку её нормальная жорданова форма является диагональной матрицей. Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям нормальной матрицы, ортогональны. Частушки С Матом 2011. Для любой нормальной матрицы ACn имеет ортонормальный базис, состоящий из собственных векторов матрицы A.

Соответствующая матрица собственных векторов является унитарной. Собственные значения эрмитовой матрицы являются вещественными числами, поскольку (. Например, вещественная треугольная матрица имеет все свои собственные значения на диагонали, но, в общем случае, не симметрична. Любую задачу вычислительной математики можно рассматривать как вычисление некоторой функции . Число обусловленности.

Число обусловленности описывает насколько возрастает ошибка во время вычислений. Десятичный логарифм этого числа говорит о количестве знаков, которые мы теряем по отношению к исходным данным. Число обусловленности относится к наилучшему сценарию, отражая нестабильность самой задачи, независимо от способа решения.

Никакой алгоритм не может дать результат лучше, чем определённый числом обусловленности, разве что случайно. Однако плохо разработанный алгоритм может дать существенно более плохие результаты. Например, как будет упомянуто ниже, задача нахождения собственных значений нормальной матрицы всегда хорошо обусловлена, однако задача нахождения корней многочлена может быть очень плохо обусловлена. Такие алгоритмы вычисления собственных значений, которые работают путём нахождения корней характеристического многочлена, могут оказаться плохо обусловленными, даже если сама задача хорошо обусловлена.

Для задачи решения системы линейных уравнений Av = b, где A является обратимой, число обусловленности . Поскольку это число не зависит от b и является тем же самым как для A, так и для A- 1, оно обычно называется числом обусловленности . Это значение . Если A является унитарной, то . В общем случае для матриц часто сложно вычислить операторную норму. По этой причине обычно используют другие нормы матрицы для оценки числа обусловленности. Для задачи вычисления собственных значений Бауэр и Файк доказали.

Как следствие, число обусловленности для вычисления . Если матрица A нормальна, то V является унитарной и .

Таким образом, задача вычисления собственных значений нормальных матриц хорошо обусловлена. Было показано, что число обусловленности задачи вычисления собственного подпространства нормальной матрицы A, соответствующего собственному значению . В частности, задача определения собственного подпространства для нормальных матриц хорошо обусловлена для изолированных собственных значений. Если собственные значения не изолированы, лучшее, на что мы можем рассчитывать, это определение подпространства всех собственных векторов близлежащих собственных значений. Любой нормированный многочлен. Теорема Абеля — Руффини показывает, что любой такой алгоритм для размерности большей 4 должен либо быть бесконечным, либо вовлекать функции более сложные, чем элементарные арифметические операции или дробные степени. По этой причине алгоритмы, вычисляющие точно собственные значения за конечное число шагов, существуют только для специальных классов матриц.

В общем случае алгоритмы являются итеративными, дающими на каждой итерации очередное приближение к решению. Некоторые алгоритмы дают все собственные значения, другие дают несколько значений или даже всего одно, однако и эти алгоритмы можно использовать для вычисления всех собственных значений. Как только собственное значение . Собственное значение, найденное для A - .

Например, в степенном методе. Итерация степенного метода находит самое большое по абсолютной величине значение, так что даже если .

И наоборот, методы, основанные на обратной итерации. Поскольку A - . Алгоритм вычисления собственных значений можно тогда применить к этой суженой матрице.

Процесс можно продолжать пока не будут найдены все собственные значения. Если алгоритм не даёт к собственные значения, общей практикой является применение алгоритма, основанного на обратной итерации, с приравниванием . Это быстро приводит к собственному вектору ближайшего к . Для небольших матриц альтернативой служит использование столбцового подпространства произведения A - . Верхняя матрица Хессенберга — это квадратная матрица, у которой все элементы ниже первой поддиагонали равны нулю.

Нижняя матрица Хессенберга — это квадратная матрица, у которой все члены выше первой наддиагонали равны нулю. Матрицы, которые являются как нижними, так и верхними матрицами Хессенберга — это трёхдиагональные матрицы. Матрицы Хессенберга и трёхдиагональные матрицы являются исходными точками многих алгоритмов вычисления собственных значений, поскольку нулевые значения уменьшают сложность задачи. Существует несколько методов сведения матриц к матрицам Хессенберга с теми же собственными значениями.

Если исходная матрица симметрична или эрмитова, то результирующая матрица будет трёхдиагональной. Если нужны только собственные значения, нет необходимости вычислять матрицу подобия, поскольку преобразованная матрица имеет те же собственные значения.

Если также нужны и собственные векторы, матрица подобия необходима для преобразования собственных векторов матрицы Хессенберга к собственным векторам исходной матрицы. Метод. Применим к матрицам. Результат. Цена без матрицы подобия. Цена с матрицей подобия. Описание. Преобразования Хаусхолдераобщего видаматрица Хессенберга.